გადაწყვიტეთ {l}{x/4+y/3=0}{x/2+y/6=-frac{3}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 0 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0$$

გამოაკელით \frac{y}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}\right)y$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{y}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)y+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} \frac{y}{6}-ს.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\times 3$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე 3.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{8}{3}\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)\\-2\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{4} და \frac{x}{2} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{4}-ზე.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}y=0,\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y=0,\frac{1}{8}x+\frac{1}{24}y=-\frac{3}{8}$$

გამოაკელით \frac{1}{8}x+\frac{1}{24}y=-\frac{3}{8} \frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=\frac{3}{8}$$

მიუმატეთ \frac{x}{8} -\frac{x}{8}-ს. პირობები \frac{x}{8} და -\frac{x}{8} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=\frac{3}{8}$$

მიუმატეთ \frac{y}{6} -\frac{y}{24}-ს.

$$\frac{1}{8}y=\frac{3}{8}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 8-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\times 3=-\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე 3.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=3$$