გადაწყვიტეთ {l}{x/2+y/3=1}{x/3+y/2=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

გამოაკელით \frac{y}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{y}{3}+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2y}{3}+2-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+2\right)+\frac{1}{2}y=1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -\frac{2y}{3}+2.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}y=1$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{9} \frac{y}{2}-ს.

$$\frac{5}{18}y+\frac{2}{3}=1$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{18}y=\frac{1}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{18}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6}{5}-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{6}{5}+2$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{6}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{4}{5}+2$$

მიუმატეთ 2 -\frac{4}{5}-ს.

$$x=\frac{6}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18-12}{5}\\\frac{-12+18}{5}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{2} და \frac{x}{3} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{3}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3},\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2} \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{x}{6} -\frac{x}{6}-ს. პირობები \frac{x}{6} და -\frac{x}{6} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{y}{9} -\frac{y}{4}-ს.

$$-\frac{5}{36}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -\frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$-\frac{5}{36}y=-\frac{1}{6}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{36}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6}{5}-ით y აქ: \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{6}{5}=1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე \frac{6}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$\frac{1}{3}x+\frac{3}{5}=1$$

გამოაკელით \frac{3}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}x=\frac{2}{5}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x=\frac{6}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$