გადაწყვიტეთ {l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე ab-ზე, a,b-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

ამოხსენით y-2x=6 y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-2x=6$$

გამოაკელით -2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2x+6$$

ჩაანაცვლეთ 2x+6-ით y მეორე განტოლებაში, bx^{2}+ay^{2}=ab.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

აიყვანეთ კვადრატში 2x+6.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

გაამრავლეთ a-ზე 4x^{2}+24x+36.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

მიუმატეთ bx^{2} 4ax^{2}-ს.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

გამოაკელით ab განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ b+a\times 2^{2}-ით a, a\times 6\times 2\times 2-ით b და a\left(36-b\right)-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში a\times 6\times 2\times 2.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

გაამრავლეთ -4b-16a-ზე a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

მიუმატეთ 576a^{2} -4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right)-ს.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

აიღეთ 4ab\left(-36+4a+b\right)-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -24a 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

გაყავით -24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} 2b+8a-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} -24a-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

გაყავით -24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} 2b+8a-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

არსებობს x-ის ორი ამონახსნი: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} და -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. ჩაანაცვლეთ \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}-ით x განტოლებაში y=2x+6, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

ახლა ჩაანაცვლეთ -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}-ით x განტოლებაში y=2x+6 და ამოხსენით, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$