გადაწყვიტეთ {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 50-ზე, 25,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\times 27x+45y=50400$$

გადაამრავლეთ 2 და 27, რათა მიიღოთ 54.

$$54x+45y=50400$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$54x+45y=50400$$

გამოაკელით 45y განტოლების ორივე მხარეს.

$$54x=-45y+50400$$

ორივე მხარე გაყავით 54-ზე.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{54}-ზე -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

გაამრავლეთ \frac{11}{10}-ზე -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

მიუმატეთ -\frac{11y}{12} \frac{43y}{5}-ს.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

გამოაკელით \frac{3080}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{461}{60}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{80}{461}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{80}{461}-ით y აქ: x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{6}-ზე \frac{80}{461} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2800}{3} -\frac{200}{1383}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{430200}{461}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 50-ზე, 25,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\times 27x+45y=50400$$

გადაამრავლეთ 2 და 27, რათა მიიღოთ 54.

$$54x+45y=50400$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 50-ზე, 25,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\times 27x+45y=50400$$

გადაამრავლეთ 2 და 27, რათა მიიღოთ 54.

$$54x+45y=50400$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

იმისათვის, რომ 54x და \frac{11x}{10} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{11}{10}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 54-ზე.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

გამოაკელით \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

მიუმატეთ \frac{297x}{5} -\frac{297x}{5}-ს. პირობები \frac{297x}{5} და -\frac{297x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

მიუმატეთ \frac{99y}{2} -\frac{2322y}{5}-ს.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

მიუმატეთ 55440 -55512-ს.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{4149}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{80}{461}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{80}{461}-ით y აქ: \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

გაამრავლეთ \frac{43}{5}-ზე \frac{80}{461} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

გამოაკელით \frac{688}{461} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{430200}{461}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$