გადაწყვიტეთ {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=7$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-y+3-ზე.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-2y+3-ზე.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

დააჯგუფეთ 8x და -3x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

დააჯგუფეთ -4y და 6y, რათა მიიღოთ 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

გამოაკელით 9 12-ს 3-ის მისაღებად.

$$5x+2y+3=48$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$5x+2y=48-3$$

გამოაკელით 3 48-ს 45-ის მისაღებად.

$$5x+2y=45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-4y+3-ზე.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 4x-2y-9-ზე.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

დააჯგუფეთ 9x და 16x, რათა მიიღოთ 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

დააჯგუფეთ -12y და -8y, რათა მიიღოთ -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

გამოაკელით 36 9-ს -27-ის მისაღებად.

$$25x-20y-27=48$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$25x-20y=48+27$$

შეკრიბეთ 48 და 27, რათა მიიღოთ 75.

$$25x-20y=75$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+2y=45$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-2y+45$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2y}{5}+9-ით x მეორე განტოლებაში, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

გაამრავლეთ 25-ზე -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

მიუმატეთ -10y -20y-ს.

$$-30y+225=75$$

გამოაკელით 225 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-30y=-150$$

ორივე მხარე გაყავით -30-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=-\frac{2}{5}y+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{5}-ზე 5.

$$x=-2+9$$

მიუმატეთ 9 -2-ს.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-y+3-ზე.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-2y+3-ზე.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

დააჯგუფეთ 8x და -3x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

დააჯგუფეთ -4y და 6y, რათა მიიღოთ 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

გამოაკელით 9 12-ს 3-ის მისაღებად.

$$5x+2y+3=48$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$5x+2y=48-3$$

გამოაკელით 3 48-ს 45-ის მისაღებად.

$$5x+2y=45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-4y+3-ზე.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 4x-2y-9-ზე.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

დააჯგუფეთ 9x და 16x, რათა მიიღოთ 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

დააჯგუფეთ -12y და -8y, რათა მიიღოთ -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

გამოაკელით 36 9-ს -27-ის მისაღებად.

$$25x-20y-27=48$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$25x-20y=48+27$$

შეკრიბეთ 48 და 27, რათა მიიღოთ 75.

$$25x-20y=75$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=7,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-y+3-ზე.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-2y+3-ზე.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

დააჯგუფეთ 8x და -3x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

დააჯგუფეთ -4y და 6y, რათა მიიღოთ 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

გამოაკელით 9 12-ს 3-ის მისაღებად.

$$5x+2y+3=48$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$5x+2y=48-3$$

გამოაკელით 3 48-ს 45-ის მისაღებად.

$$5x+2y=45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-4y+3-ზე.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 4x-2y-9-ზე.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

დააჯგუფეთ 9x და 16x, რათა მიიღოთ 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

დააჯგუფეთ -12y და -8y, რათა მიიღოთ -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

გამოაკელით 36 9-ს -27-ის მისაღებად.

$$25x-20y-27=48$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$25x-20y=48+27$$

შეკრიბეთ 48 და 27, რათა მიიღოთ 75.

$$25x-20y=75$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

იმისათვის, რომ 5x და 25x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 25-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

გაამარტივეთ.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

გამოაკელით 125x-100y=375 125x+50y=1125-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

მიუმატეთ 125x -125x-ს. პირობები 125x და -125x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$50y+100y=1125-375$$

მიუმატეთ 50y 100y-ს.

$$150y=1125-375$$

მიუმატეთ 1125 -375-ს.

$$150y=750$$

ორივე მხარე გაყავით 150-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: 25x-20y=75. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$25x-20\times 5=75$$

გაამრავლეთ -20-ზე 5.

$$25x-100=75$$

მიუმატეთ 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x=175$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=5$$