გადაწყვიტეთ {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს \frac{2}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3y-2-ზე.

$$2x+3=3y-2$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x+3-3y=-2$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-2-3$$

გამოაკელით 3 -2-ს -5-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x 2y-5-ზე.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2y x+3-ზე.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

დააჯგუფეთ 2xy და -2yx, რათა მიიღოთ 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

დააჯგუფეთ -5x და -2x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x-6y=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=-5$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y-5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{2} -6y-ს.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

გამოაკელით \frac{35}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{33}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს \frac{2}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3y-2-ზე.

$$2x+3=3y-2$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x+3-3y=-2$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-2-3$$

გამოაკელით 3 -2-ს -5-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x 2y-5-ზე.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2y x+3-ზე.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

დააჯგუფეთ 2xy და -2yx, რათა მიიღოთ 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

დააჯგუფეთ -5x და -2x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x-6y=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს \frac{2}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3y-2-ზე.

$$2x+3=3y-2$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x+3-3y=-2$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-2-3$$

გამოაკელით 3 -2-ს -5-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x 2y-5-ზე.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2y x+3-ზე.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

დააჯგუფეთ 2xy და -2yx, რათა მიიღოთ 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

დააჯგუფეთ -5x და -2x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x-6y=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

იმისათვის, რომ 2x და -7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

გაამარტივეთ.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

გამოაკელით -14x-12y=2 -14x+21y=35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

მიუმატეთ -14x 14x-ს. პირობები -14x და 14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y+12y=35-2$$

მიუმატეთ 21y 12y-ს.

$$33y=35-2$$

მიუმატეთ 35 -2-ს.

$$33y=33$$

ორივე მხარე გაყავით 33-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -7x-6y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-7x-6=1$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=7$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=1$$