გადაწყვიტეთ {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4y}{3}+10-ით x მეორე განტოლებაში, x+3y=6.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

მიუმატეთ \frac{4y}{3} 3y-ს.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{12}{13}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{12}{13}-ით y აქ: x=\frac{4}{3}y+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე -\frac{12}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

მიუმატეთ 10 -\frac{16}{13}-ს.

$$x=\frac{114}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{2} და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

გამოაკელით \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

მიუმატეთ \frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ს. პირობები \frac{x}{2} და -\frac{x}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} -\frac{3y}{2}-ს.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{13}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{12}{13}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{12}{13}-ით y აქ: x+3y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

მიუმატეთ \frac{36}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{114}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$