გადაწყვიტეთ {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$y-22-x+11=36$$

შეკრიბეთ -22 და 11, რათა მიიღოთ -11.

$$y-11-x=36$$

დაამატეთ 11 ორივე მხარეს.

$$y-x=36+11$$

შეკრიბეთ 36 და 11, რათა მიიღოთ 47.

$$y-x=47$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=122,-x+y=47$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=122$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+122$$

ჩაანაცვლეთ -y+122-ით x მეორე განტოლებაში, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

გაამრავლეთ -1-ზე -y+122.

$$y-122+y=47$$

მიუმატეთ y y-ს.

$$2y-122=47$$

მიუმატეთ 122 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=169$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{169}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{169}{2}-ით y აქ: x=-y+122. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

მიუმატეთ 122 -\frac{169}{2}-ს.

$$x=\frac{75}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$y-22-x+11=36$$

შეკრიბეთ -22 და 11, რათა მიიღოთ -11.

$$y-11-x=36$$

დაამატეთ 11 ორივე მხარეს.

$$y-x=36+11$$

შეკრიბეთ 36 და 11, რათა მიიღოთ 47.

$$y-x=47$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=122,-x+y=47$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$y-22-x+11=36$$

შეკრიბეთ -22 და 11, რათა მიიღოთ -11.

$$y-11-x=36$$

დაამატეთ 11 ორივე მხარეს.

$$y-x=36+11$$

შეკრიბეთ 36 და 11, რათა მიიღოთ 47.

$$y-x=47$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=122,-x+y=47$$

გამოაკელით -x+y=47 x+y=122-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x+x+y-y=122-47$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x+x=122-47$$

მიუმატეთ x x-ს.

$$2x=122-47$$

მიუმატეთ 122 -47-ს.

$$2x=75$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{75}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{75}{2}-ით x აქ: -x+y=47. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

მიუმატეთ \frac{75}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{169}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$