გადაწყვიტეთ {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+4y=1$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-4y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -2y+\frac{1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

გაამრავლეთ 5-ზე -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

მიუმატეთ -10y -y-ს.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=\frac{1}{22}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{22}-ით y აქ: x=-2y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} -\frac{1}{11}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{9}{22}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

იმისათვის, რომ 2x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

გამოაკელით 10x-2y=4 10x+20y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20y+2y=5-4$$

მიუმატეთ 20y 2y-ს.

$$22y=5-4$$

მიუმატეთ 5 -4-ს.

$$22y=1$$

ორივე მხარე გაყავით 22-ზე.

$$y=\frac{1}{22}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{22}-ით y აქ: 5x-y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

მიუმატეთ \frac{1}{22} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=\frac{45}{22}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{9}{22}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$