გადაწყვიტეთ {c}{-x+3y=6}{-2x+5y=11}

$$\left. \begin{array} { c } { - x + 3 y = 6 } \\ { - 2 x + 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+3y=6$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -3y+6.

$$x=3y-6$$

ჩაანაცვლეთ -6+3y-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+5y=11.

$$-2\left(3y-6\right)+5y=11$$

გაამრავლეთ -2-ზე -6+3y.

$$-6y+12+5y=11$$

მიუმატეთ -6y 5y-ს.

$$-y+12=11$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=3y-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3-6$$

მიუმატეთ -6 3-ს.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{-5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{1}{-5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 6-3\times 11\\2\times 6-11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-3,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

იმისათვის, რომ -x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 3y=-2\times 6,-\left(-2\right)x-5y=-11$$

გაამარტივეთ.

$$2x-6y=-12,2x-5y=-11$$

გამოაკელით 2x-5y=-11 2x-6y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-6y+5y=-12+11$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y+5y=-12+11$$

მიუმატეთ -6y 5y-ს.

$$-y=-12+11$$

მიუმატეთ -12 11-ს.

$$-y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -2x+5y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+5=11$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=6$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=1$$