გადაწყვიტეთ {c}{-7u-10v=116}{-7u+10v=-4}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 u - 10 v = 116 } \\ { - 7 u + 10 v = - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა u, v-ისთვის

$$u=-8$$

$$v=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი u-ისთვის, u-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-7u-10v=116$$

მიუმატეთ 10v განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7u=10v+116$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$u=-\frac{1}{7}\left(10v+116\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{7}-ზე 10v+116.

$$u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-10v-116}{7}-ით u მეორე განტოლებაში, -7u+10v=-4.

$$-7\left(-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}\right)+10v=-4$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{-10v-116}{7}.

$$10v+116+10v=-4$$

მიუმატეთ 10v 10v-ს.

$$20v+116=-4$$

გამოაკელით 116 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20v=-120$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$v=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით v აქ: u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$u=-\frac{10}{7}\left(-6\right)-\frac{116}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{7}-ზე -6.

$$u=\frac{60-116}{7}$$

მიუმატეთ -\frac{116}{7} \frac{60}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$u=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=-8,v=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{-10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 116-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{20}\times 116+\frac{1}{20}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - u და v.

$$u=-8,v=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

გამოაკელით -7u+10v=-4 -7u-10v=116-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-7u+7u-10v-10v=116+4$$

მიუმატეთ -7u 7u-ს. პირობები -7u და 7u გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10v-10v=116+4$$

მიუმატეთ -10v -10v-ს.

$$-20v=116+4$$

მიუმატეთ 116 4-ს.

$$-20v=120$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$v=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით v აქ: -7u+10v=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$-7u+10\left(-6\right)=-4$$

გაამრავლეთ 10-ზე -6.

$$-7u-60=-4$$

მიუმატეთ 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7u=56$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$u=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=-8,v=-6$$