გადაწყვიტეთ {c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+7y=10$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-7y+10$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -7y+10.

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7y}{2}-5-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+7y=2.

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{7y}{2}-5.

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

მიუმატეთ \frac{21y}{2} 7y-ს.

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{35}{2}y=17$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{35}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{34}{35}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{34}{35}-ით y აქ: x=\frac{7}{2}y-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

გაამრავლეთ \frac{7}{2}-ზე \frac{34}{35} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{17}{5}-5$$

მიუმატეთ -5 \frac{17}{5}-ს.

$$x=-\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

გამოაკელით 3x+7y=2 -2x+7y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

მიუმატეთ 7y -7y-ს. პირობები 7y და -7y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2x-3x=10-2$$

მიუმატეთ -2x -3x-ს.

$$-5x=10-2$$

მიუმატეთ 10 -2-ს.

$$-5x=8$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{5}-ით x აქ: 3x+7y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{8}{5}.

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

მიუმატეთ \frac{24}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=\frac{34}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=\frac{34}{35}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$