გადაწყვიტეთ {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+y=4$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{6}+\frac{2}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

მიუმატეთ -\frac{y}{6} -4y-ს.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{25}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{22}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{22}{5}-ით y აქ: x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{6}-ზე -\frac{22}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} \frac{11}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

იმისათვის, რომ 6x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

გაამარტივეთ.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

გამოაკელით 6x-24y=114 6x+y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y+24y=4-114$$

მიუმატეთ y 24y-ს.

$$25y=4-114$$

მიუმატეთ 4 -114-ს.

$$25y=-110$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$y=-\frac{22}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{22}{5}-ით y აქ: x-4y=19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

გამოაკელით \frac{88}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$