გადაწყვიტეთ {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=2$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+2x=9$$

გამოაკელით 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2x+9$$

ჩაანაცვლეთ -2x+9-ით y მეორე განტოლებაში, 2y+3x=16.

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2x+9.

$$-4x+18+3x=16$$

მიუმატეთ -4x 3x-ს.

$$-x+18=16$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y=-2x+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-2\times 2+9$$

გაამრავლეთ -2-ზე 2.

$$y=-4+9$$

მიუმატეთ 9 -4-ს.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=5,x=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

იმისათვის, რომ y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

გაამარტივეთ.

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

გამოაკელით 2y+3x=16 2y+4x=18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4x-3x=18-16$$

მიუმატეთ 4x -3x-ს.

$$x=18-16$$

მიუმატეთ 18 -16-ს.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: 2y+3x=16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y+3\times 2=16$$

გაამრავლეთ 3-ზე 2.

$$2y+6=16$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=2$$