გადაწყვიტეთ {l}{y=5/2x+1}{y=5x+17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 2 } x + 1 } \\ { y = 5 x + 17 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{32}{5} = -6\frac{2}{5} = -6.4$$

$$y=-15$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{5}{2}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=17$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

მიუმატეთ \frac{5x}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{5}{2}x+1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5x}{2}+1-ით y მეორე განტოლებაში, y-5x=17.

$$\frac{5}{2}x+1-5x=17$$

მიუმატეთ \frac{5x}{2} -5x-ს.

$$-\frac{5}{2}x+1=17$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{2}x=16$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{32}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{32}{5}-ით x აქ: y=\frac{5}{2}x+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{32}{5}\right)+1$$

გაამრავლეთ \frac{5}{2}-ზე -\frac{32}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-16+1$$

მიუმატეთ 1 -16-ს.

$$y=-15$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{5}{2}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=17$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&-\frac{-\frac{5}{2}}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-17\\\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times 17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-\frac{32}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{5}{2}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=17$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

გამოაკელით y-5x=17 y-\frac{5}{2}x=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

მიუმატეთ -\frac{5x}{2} 5x-ს.

$$\frac{5}{2}x=1-17$$

მიუმატეთ 1 -17-ს.

$$\frac{5}{2}x=-16$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{32}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{32}{5}-ით x აქ: y-5x=17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-5\left(-\frac{32}{5}\right)=17$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{32}{5}.

$$y+32=17$$

გამოაკელით 32 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-15$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$