გადაწყვიტეთ {l}{x=3y-2}{y=2x-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y - 2 } \\ { y = 2 x - y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$y-2x+y=0$$

დააჯგუფეთ y და y, რათა მიიღოთ 2y.

$$2y-2x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-3y=-2,-2x+2y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-3y=-2$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3y-2$$

ჩაანაცვლეთ 3y-2-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+2y=0.

$$-2\left(3y-2\right)+2y=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3y-2.

$$-6y+4+2y=0$$

მიუმატეთ -6y 2y-ს.

$$-4y+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=3y-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3-2$$

მიუმატეთ -2 3-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$y-2x+y=0$$

დააჯგუფეთ y და y, რათა მიიღოთ 2y.

$$2y-2x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-3y=-2,-2x+2y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$y-2x+y=0$$

დააჯგუფეთ y და y, რათა მიიღოთ 2y.

$$2y-2x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-3y=-2,-2x+2y=0$$

იმისათვის, რომ x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-2\right),-2x+2y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-2x+6y=4,-2x+2y=0$$

გამოაკელით -2x+2y=0 -2x+6y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x+6y-2y=4$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-2y=4$$

მიუმატეთ 6y -2y-ს.

$$4y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -2x+2y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$