გადაწყვიტეთ {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=15$$

$$y=21$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 7y-ზე, 7,y-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5y=7x$$

გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$5y-7x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=36$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+36$$

ჩაანაცვლეთ -y+36-ით x მეორე განტოლებაში, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

გაამრავლეთ -7-ზე -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

მიუმატეთ 7y 5y-ს.

$$12y-252=0$$

მიუმატეთ 252 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12y=252$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=21$$

ჩაანაცვლეთ 21-ით y აქ: x=-y+36. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-21+36$$

მიუმატეთ 36 -21-ს.

$$x=15$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=15,y=21$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 7y-ზე, 7,y-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5y=7x$$

გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$5y-7x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=15,y=21$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 7y-ზე, 7,y-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5y=7x$$

გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$5y-7x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

იმისათვის, რომ x და -7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

გამოაკელით -7x+5y=0 -7x-7y=-252-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

მიუმატეთ -7x 7x-ს. პირობები -7x და 7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-7y-5y=-252$$

მიუმატეთ -7y -5y-ს.

$$-12y=-252$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=21$$

ჩაანაცვლეთ 21-ით y აქ: -7x+5y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-7x+5\times 21=0$$

გაამრავლეთ 5-ზე 21.

$$-7x+105=0$$

გამოაკელით 105 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=-105$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=15$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=15,y=21$$