გადაწყვიტეთ {l}{x+3y=9}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 9 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+3y=9,x+y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+3y=9$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3y+9$$

ჩაანაცვლეთ -3y+9-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=5.

$$-3y+9+y=5$$

მიუმატეთ -3y y-ს.

$$-2y+9=5$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-3y+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\times 2+9$$

გაამრავლეთ -3-ზე 2.

$$x=-6+9$$

მიუმატეთ 9 -6-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+3y=9,x+y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{3}{1-3}\\-\frac{1}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+3y=9,x+y=5$$

გამოაკელით x+y=5 x+3y=9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x+3y-y=9-5$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-y=9-5$$

მიუმატეთ 3y -y-ს.

$$2y=9-5$$

მიუმატეთ 9 -5-ს.

$$2y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x+y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+2=5$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=2$$