გადაწყვიტეთ {l}{u+v=10}{3u-2v=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა u, v-ისთვის

$$u=5$$

$$v=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი u-ისთვის, u-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$u+v=10$$

გამოაკელით v განტოლების ორივე მხარეს.

$$u=-v+10$$

ჩაანაცვლეთ -v+10-ით u მეორე განტოლებაში, 3u-2v=5.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე -v+10.

$$-3v+30-2v=5$$

მიუმატეთ -3v -2v-ს.

$$-5v+30=5$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5v=-25$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$v=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით v აქ: u=-v+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$u=-5+10$$

მიუმატეთ 10 -5-ს.

$$u=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=5,v=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - u და v.

$$u=5,v=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

იმისათვის, რომ u და 3u ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

გაამარტივეთ.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

გამოაკელით 3u-2v=5 3u+3v=30-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

მიუმატეთ 3u -3u-ს. პირობები 3u და -3u გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3v+2v=30-5$$

მიუმატეთ 3v 2v-ს.

$$5v=30-5$$

მიუმატეთ 30 -5-ს.

$$5v=25$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$v=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით v აქ: 3u-2v=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$3u-2\times 5=5$$

გაამრავლეთ -2-ზე 5.

$$3u-10=5$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3u=15$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$u=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=5,v=5$$