გადაწყვიტეთ {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$kx+9y=18$$

გამოაკელით 9y განტოლების ორივე მხარეს.

$$kx=-9y+18$$

ორივე მხარე გაყავით k-ზე.

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{k}-ზე -9y+18.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9\left(2-y\right)}{k}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-5y=20.

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{9\left(2-y\right)}{k}.

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

მიუმატეთ -\frac{36y}{k} -5y-ს.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

გამოაკელით \frac{72}{k} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{36}{k}-5-ზე.

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}-ით y აქ: x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

გაამრავლეთ -\frac{9}{k}-ზე -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}.

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

მიუმატეთ \frac{18}{k} \frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)}-ს.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

იმისათვის, რომ kx და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს k-ზე.

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

გამოაკელით 4kx+\left(-5k\right)y=20k 4kx+36y=72-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

მიუმატეთ 4kx -4kx-ს. პირობები 4kx და -4kx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36y+5ky=72-20k$$

მიუმატეთ 36y 5ky-ს.

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

ორივე მხარე გაყავით 36+5k-ზე.

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}-ით y აქ: 4x-5y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}.

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

მიუმატეთ \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$