გადაწყვიტეთ {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

მიუმატეთ by განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax=by-8$$

ორივე მხარე გაყავით a-ზე.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{a}-ზე by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{by-8}{a}-ით x მეორე განტოლებაში, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

გაამრავლეთ b-ზე \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

მიუმატეთ \frac{b^{2}y}{a} ay-ს.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

მიუმატეთ -\frac{8b}{a} 1-ს.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

გამოაკელით \frac{a-8b}{a} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

ორივე მხარე გაყავით a+\frac{b^{2}}{a}-ზე.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ით y აქ: x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

გაამრავლეთ \frac{b}{a}-ზე \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{a} \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-ს.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

იმისათვის, რომ ax და bx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს b-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს a-ზე.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

გაამარტივეთ.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

გამოაკელით abx+a^{2}y+a=0 abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

მიუმატეთ bax -bax-ს. პირობები bax და -bax გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

მიუმატეთ -b^{2}y -a^{2}y-ს.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

გამოაკელით 8b-a განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

ორივე მხარე გაყავით -b^{2}-a^{2}-ზე.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ით y აქ: bx+ay+1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

გაამრავლეთ a-ზე -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

მიუმატეთ -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} 1-ს.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

გამოაკელით \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

ორივე მხარე გაყავით b-ზე.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

მიუმატეთ by განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax=by-8$$

ორივე მხარე გაყავით a-ზე.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{a}-ზე by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{by-8}{a}-ით x მეორე განტოლებაში, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

გაამრავლეთ b-ზე \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

მიუმატეთ \frac{b^{2}y}{a} ay-ს.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

მიუმატეთ -\frac{8b}{a} 1-ს.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

გამოაკელით \frac{a-8b}{a} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

ორივე მხარე გაყავით a+\frac{b^{2}}{a}-ზე.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ით y აქ: x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

გაამრავლეთ \frac{b}{a}-ზე \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{a} \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-ს.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

იმისათვის, რომ ax და bx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს b-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს a-ზე.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

გაამარტივეთ.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

გამოაკელით abx+a^{2}y+a=0 abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

მიუმატეთ bax -bax-ს. პირობები bax და -bax გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

მიუმატეთ -b^{2}y -a^{2}y-ს.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

გამოაკელით 8b-a განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

ორივე მხარე გაყავით -b^{2}-a^{2}-ზე.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ით y აქ: bx+ay+1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

გაამრავლეთ a-ზე -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

მიუმატეთ -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} 1-ს.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

გამოაკელით \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

ორივე მხარე გაყავით b-ზე.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$