გადაწყვიტეთ {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x+2y=62$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=-2y+62$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+62}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

მიუმატეთ -\frac{8y}{9} 4y-ს.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

გამოაკელით \frac{248}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{28}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{19}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{19}{7}-ით y აქ: x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{9}-ზე \frac{19}{7} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

მიუმატეთ \frac{62}{9} -\frac{38}{63}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{44}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

იმისათვის, რომ 9x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

გაამარტივეთ.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

გამოაკელით 36x+36y=324 36x+8y=248-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

მიუმატეთ 36x -36x-ს. პირობები 36x და -36x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y-36y=248-324$$

მიუმატეთ 8y -36y-ს.

$$-28y=248-324$$

მიუმატეთ 248 -324-ს.

$$-28y=-76$$

ორივე მხარე გაყავით -28-ზე.

$$y=\frac{19}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{19}{7}-ით y აქ: 4x+4y=36. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{19}{7}.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

გამოაკელით \frac{76}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{176}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{44}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$