გადაწყვიტეთ {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$78x+40y=1280$$

გამოაკელით 40y განტოლების ორივე მხარეს.

$$78x=-40y+1280$$

ორივე მხარე გაყავით 78-ზე.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{78}-ზე -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-20y+640}{39}-ით x მეორე განტოლებაში, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

გაამრავლეთ 120-ზე \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

მიუმატეთ -\frac{800y}{13} 80y-ს.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

გამოაკელით \frac{25600}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{240}{13}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=45$$

ჩაანაცვლეთ 45-ით y აქ: x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

გაამრავლეთ -\frac{20}{39}-ზე 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

მიუმატეთ \frac{640}{39} -\frac{300}{13}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{20}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

იმისათვის, რომ 78x და 120x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 120-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 78-ზე.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

გაამარტივეთ.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

გამოაკელით 9360x+6240y=218400 9360x+4800y=153600-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

მიუმატეთ 9360x -9360x-ს. პირობები 9360x და -9360x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

მიუმატეთ 4800y -6240y-ს.

$$-1440y=153600-218400$$

მიუმატეთ 153600 -218400-ს.

$$-1440y=-64800$$

ორივე მხარე გაყავით -1440-ზე.

$$y=45$$

ჩაანაცვლეთ 45-ით y აქ: 120x+80y=2800. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$120x+80\times 45=2800$$

გაამრავლეთ 80-ზე 45.

$$120x+3600=2800$$

გამოაკელით 3600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$120x=-800$$

ორივე მხარე გაყავით 120-ზე.

$$x=-\frac{20}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$