გადაწყვიტეთ {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+2y=300$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-2y+300$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{3}+50-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

მიუმატეთ -y 5y-ს.

$$4y+150=600$$

გამოაკელით 150 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=450$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=\frac{225}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{225}{2}-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე \frac{225}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

მიუმატეთ 50 -\frac{75}{2}-ს.

$$x=\frac{25}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

იმისათვის, რომ 6x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

გაამარტივეთ.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

გამოაკელით 18x+30y=3600 18x+6y=900-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-30y=900-3600$$

მიუმატეთ 6y -30y-ს.

$$-24y=900-3600$$

მიუმატეთ 900 -3600-ს.

$$-24y=-2700$$

ორივე მხარე გაყავით -24-ზე.

$$y=\frac{225}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{225}{2}-ით y აქ: 3x+5y=600. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

გამოაკელით \frac{1125}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{75}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{25}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$