გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=13$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+13$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+13.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+13}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -9x-2y=-2.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

გაამრავლეთ -9-ზე \frac{3y+13}{5}.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

მიუმატეთ -\frac{27y}{5} -2y-ს.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

მიუმატეთ \frac{117}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{37}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{107}{37}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{107}{37}-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე -\frac{107}{37} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

მიუმატეთ \frac{13}{5} -\frac{321}{185}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{32}{37}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

იმისათვის, რომ 5x და -9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

გამოაკელით -45x-10y=-10 -45x+27y=-117-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

მიუმატეთ -45x 45x-ს. პირობები -45x და 45x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$27y+10y=-117+10$$

მიუმატეთ 27y 10y-ს.

$$37y=-117+10$$

მიუმატეთ -117 10-ს.

$$37y=-107$$

ორივე მხარე გაყავით 37-ზე.

$$y=-\frac{107}{37}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{107}{37}-ით y აქ: -9x-2y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{107}{37}.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

გამოაკელით \frac{214}{37} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=\frac{32}{37}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$