გადაწყვიტეთ {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=17$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=71$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y+71$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y+71.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+71}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-3y+71}{4}.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{4} 5y-ს.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

გამოაკელით \frac{497}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -4-ზე.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე 17.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

მიუმატეთ \frac{71}{4} -\frac{51}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=17$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=17$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

იმისათვის, რომ 4x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

გაამარტივეთ.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

გამოაკელით 28x+20y=480 28x+21y=497-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

მიუმატეთ 28x -28x-ს. პირობები 28x და -28x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y-20y=497-480$$

მიუმატეთ 21y -20y-ს.

$$y=497-480$$

მიუმატეთ 497 -480-ს.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: 7x+5y=120. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+5\times 17=120$$

გაამრავლეთ 5-ზე 17.

$$7x+85=120$$

გამოაკელით 85 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=35$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=17$$