გადაწყვიტეთ {l}{4a-2b-2=0}{9a+3b-2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 2 b - 2 = 0 } \\ { 9 a + 3 b - 2 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$b=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4a-2b-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4a-2b=2$$

მიუმატეთ 2b განტოლების ორივე მხარეს.

$$4a=2b+2$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$a=\frac{1}{4}\left(2b+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 2+2b.

$$a=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1+b}{2}-ით a მეორე განტოლებაში, 9a+3b-2=0.

$$9\left(\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\right)+3b-2=0$$

გაამრავლეთ 9-ზე \frac{1+b}{2}.

$$\frac{9}{2}b+\frac{9}{2}+3b-2=0$$

მიუმატეთ \frac{9b}{2} 3b-ს.

$$\frac{15}{2}b+\frac{9}{2}-2=0$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} -2-ს.

$$\frac{15}{2}b+\frac{5}{2}=0$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{15}{2}b=-\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{15}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით b აქ: a=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -\frac{1}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} -\frac{1}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{15}\\-\frac{3}{10}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{1}{15}\times 2\\-\frac{3}{10}\times 2+\frac{2}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

იმისათვის, რომ 4a და 9a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$9\times 4a+9\left(-2\right)b+9\left(-2\right)=0,4\times 9a+4\times 3b+4\left(-2\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$36a-18b-18=0,36a+12b-8=0$$

გამოაკელით 36a+12b-8=0 36a-18b-18=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36a-36a-18b-12b-18+8=0$$

მიუმატეთ 36a -36a-ს. პირობები 36a და -36a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-18b-12b-18+8=0$$

მიუმატეთ -18b -12b-ს.

$$-30b-18+8=0$$

მიუმატეთ -18 8-ს.

$$-30b-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-30b=10$$

ორივე მხარე გაყავით -30-ზე.

$$b=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით b აქ: 9a+3b-2=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$9a+3\left(-\frac{1}{3}\right)-2=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{1}{3}.

$$9a-1-2=0$$

მიუმატეთ -1 -2-ს.

$$9a-3=0$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9a=3$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$a=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$