გადაწყვიტეთ {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x+4y+3y=10$$

დააჯგუფეთ 4y და 3y, რათა მიიღოთ 7y.

$$x+7y=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=2$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+7y=10$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-7y+10$$

ჩაანაცვლეთ -7y+10-ით x მეორე განტოლებაში, -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

გაამრავლეთ -1-ზე -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

მიუმატეთ 7y 5y-ს.

$$12y-10=2$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-7y+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-7+10$$

მიუმატეთ 10 -7-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x+4y+3y=10$$

დააჯგუფეთ 4y და 3y, რათა მიიღოთ 7y.

$$x+7y=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=2$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x+4y+3y=10$$

დააჯგუფეთ 4y და 3y, რათა მიიღოთ 7y.

$$x+7y=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=2$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

იმისათვის, რომ x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

გამოაკელით -x+5y=2 -x-7y=-10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-7y-5y=-10-2$$

მიუმატეთ -7y -5y-ს.

$$-12y=-10-2$$

მიუმატეთ -10 -2-ს.

$$-12y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -x+5y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+5=2$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$