გადაწყვიტეთ {l}{3x+y=5}{x+2/5+y/2=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } + \frac { y } { 2 } = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} 2-ს.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე \frac{-y+11}{3}.

$$-\frac{1}{15}y+\frac{11}{15}+\frac{1}{2}y=-1$$

მიუმატეთ -\frac{y}{15} \frac{y}{2}-ს.

$$\frac{13}{30}y+\frac{11}{15}=-1$$

გამოაკელით \frac{11}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{30}y=-\frac{26}{15}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{30}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} \frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

გაამრატივეთ მეორე განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე x+2.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y=-1$$

გამოაკელით \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{2}y=-\frac{7}{5}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&-\frac{1}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&\frac{3}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{10}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{30}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{10}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\\-\frac{2}{13}\times 5+\frac{30}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-4$$