გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=1}{11x-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 11 x - 1 = y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$11x-1-y=0$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$11x-y=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=1,11x-y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=1$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 11x-y=1.

$$11\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=1$$

გაამრავლეთ 11-ზე \frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{11}{3}-y=1$$

მიუმატეთ -\frac{22y}{3} -y-ს.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{11}{3}=1$$

გამოაკელით \frac{11}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{25}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{8}{25}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8}{25}-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{8}{25} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -\frac{16}{75}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{25}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$11x-1-y=0$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$11x-y=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=1,11x-y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 11}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 11}\\-\frac{11}{3\left(-1\right)-2\times 11}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{11}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1+2}{25}\\\frac{11-3}{25}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$11x-1-y=0$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$11x-y=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=1,11x-y=1$$

იმისათვის, რომ 3x და 11x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 11-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$11\times 3x+11\times 2y=11,3\times 11x+3\left(-1\right)y=3$$

გაამარტივეთ.

$$33x+22y=11,33x-3y=3$$

გამოაკელით 33x-3y=3 33x+22y=11-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$33x-33x+22y+3y=11-3$$

მიუმატეთ 33x -33x-ს. პირობები 33x და -33x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$22y+3y=11-3$$

მიუმატეთ 22y 3y-ს.

$$25y=11-3$$

მიუმატეთ 11 -3-ს.

$$25y=8$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$y=\frac{8}{25}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8}{25}-ით y აქ: 11x-y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$11x-\frac{8}{25}=1$$

მიუმატეთ \frac{8}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=\frac{33}{25}$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=\frac{3}{25}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$