გადაწყვიტეთ {l}{3X+3Y=9}{X+6Y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 X + 3 Y = 9 } \\ { X + 6 Y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა X, Y-ისთვის

$$X = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$Y=\frac{1}{5}=0.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3X+3Y=9,X+6Y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი X-ისთვის, X-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3X+3Y=9$$

გამოაკელით 3Y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3X=-3Y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$X=\frac{1}{3}\left(-3Y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -3Y+9.

$$X=-Y+3$$

ჩაანაცვლეთ -Y+3-ით X მეორე განტოლებაში, X+6Y=4.

$$-Y+3+6Y=4$$

მიუმატეთ -Y 6Y-ს.

$$5Y+3=4$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5Y=1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$Y=\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით Y აქ: X=-Y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ X.

$$X=-\frac{1}{5}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{1}{5}-ს.

$$X=\frac{14}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$X=\frac{14}{5},Y=\frac{1}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3X+3Y=9,X+6Y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-3}&-\frac{3}{3\times 6-3}\\-\frac{1}{3\times 6-3}&\frac{3}{3\times 6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9-\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - X და Y.

$$X=\frac{14}{5},Y=\frac{1}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3X+3Y=9,X+6Y=4$$

იმისათვის, რომ 3X და X ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3X+3Y=9,3X+3\times 6Y=3\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$3X+3Y=9,3X+18Y=12$$

გამოაკელით 3X+18Y=12 3X+3Y=9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3X-3X+3Y-18Y=9-12$$

მიუმატეთ 3X -3X-ს. პირობები 3X და -3X გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3Y-18Y=9-12$$

მიუმატეთ 3Y -18Y-ს.

$$-15Y=9-12$$

მიუმატეთ 9 -12-ს.

$$-15Y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$Y=\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით Y აქ: X+6Y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ X.

$$X+6\times \frac{1}{5}=4$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{1}{5}.

$$X+\frac{6}{5}=4$$

გამოაკელით \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$X=\frac{14}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$X=\frac{14}{5},Y=\frac{1}{5}$$