გადაწყვიტეთ {l}{3(x-1)=y+5}{5(y-1)=3(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = y + 5 } \\ { 5 ( y - 1 ) = 3 ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-1-ზე.

$$3x-3=y+5$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x-3-y=5$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$3x-y=5+3$$

შეკრიბეთ 5 და 3, რათა მიიღოთ 8.

$$3x-y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 y-1-ზე.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$5y-5=3x+3$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$5y-5-3x=3$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$5y-3x=3+5$$

შეკრიბეთ 3 და 5, რათა მიიღოთ 8.

$$5y-3x=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-y=8$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8+y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+5y=8.

$$-3\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+5y=8$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{8+y}{3}.

$$-y-8+5y=8$$

მიუმატეთ -y 5y-ს.

$$4y-8=8$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=16$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 4.

$$x=\frac{4+8}{3}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} \frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-1-ზე.

$$3x-3=y+5$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x-3-y=5$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$3x-y=5+3$$

შეკრიბეთ 5 და 3, რათა მიიღოთ 8.

$$3x-y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 y-1-ზე.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$5y-5=3x+3$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$5y-5-3x=3$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$5y-3x=3+5$$

შეკრიბეთ 3 და 5, რათა მიიღოთ 8.

$$5y-3x=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 8+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-1-ზე.

$$3x-3=y+5$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x-3-y=5$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$3x-y=5+3$$

შეკრიბეთ 5 და 3, რათა მიიღოთ 8.

$$3x-y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 y-1-ზე.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$5y-5=3x+3$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$5y-5-3x=3$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$5y-3x=3+5$$

შეკრიბეთ 3 და 5, რათა მიიღოთ 8.

$$5y-3x=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

იმისათვის, რომ 3x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-3\times 3x-3\left(-1\right)y=-3\times 8,3\left(-3\right)x+3\times 5y=3\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$-9x+3y=-24,-9x+15y=24$$

გამოაკელით -9x+15y=24 -9x+3y=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-9x+9x+3y-15y=-24-24$$

მიუმატეთ -9x 9x-ს. პირობები -9x და 9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-15y=-24-24$$

მიუმატეთ 3y -15y-ს.

$$-12y=-24-24$$

მიუმატეთ -24 -24-ს.

$$-12y=-48$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: -3x+5y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+5\times 4=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე 4.

$$-3x+20=8$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=4$$