გადაწყვიტეთ {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 x-y-ზე.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

დააჯგუფეთ 3x და -4x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

დააჯგუფეთ 3y და 4y, რათა მიიღოთ 7y.

$$-x+7y=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{2} x+y-ზე.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{6} x-y-ზე.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}x და \frac{1}{6}x, რათა მიიღოთ \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}y და -\frac{1}{6}y, რათა მიიღოთ \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+7y=-18$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-7y-18$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -7y-18.

$$x=7y+18$$

ჩაანაცვლეთ 7y+18-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

მიუმატეთ \frac{14y}{3} \frac{y}{3}-ს.

$$5y+12=2$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=7y+18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

გაამრავლეთ 7-ზე -2.

$$x=-14+18$$

მიუმატეთ 18 -14-ს.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 x-y-ზე.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

დააჯგუფეთ 3x და -4x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

დააჯგუფეთ 3y და 4y, რათა მიიღოთ 7y.

$$-x+7y=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{2} x+y-ზე.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{6} x-y-ზე.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}x და \frac{1}{6}x, რათა მიიღოთ \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}y და -\frac{1}{6}y, რათა მიიღოთ \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 x-y-ზე.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

დააჯგუფეთ 3x და -4x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

დააჯგუფეთ 3y და 4y, რათა მიიღოთ 7y.

$$-x+7y=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{2} x+y-ზე.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{6} x-y-ზე.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}x და \frac{1}{6}x, რათა მიიღოთ \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}y და -\frac{1}{6}y, რათა მიიღოთ \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

იმისათვის, რომ -x და \frac{2x}{3} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{2}{3}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

გამოაკელით -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

მიუმატეთ -\frac{2x}{3} \frac{2x}{3}-ს. პირობები -\frac{2x}{3} და \frac{2x}{3} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

მიუმატეთ \frac{14y}{3} \frac{y}{3}-ს.

$$5y=-12+2$$

მიუმატეთ -12 2-ს.

$$5y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-2$$