გადაწყვიტეთ {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y=5x-y+2$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$-2x+3y+y=2$$

დააჯგუფეთ 3y და y, რათა მიიღოთ 4y.

$$-2x+4y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$2x-2y=3x+y-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2x-2y-3x=y-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x-2y=y-4$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$-x-2y-y=-4$$

დააჯგუფეთ -2y და -y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-x-3y=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+4y=2$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-4y+2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -4y+2.

$$x=2y-1$$

ჩაანაცვლეთ 2y-1-ით x მეორე განტოლებაში, -x-3y=-4.

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

გაამრავლეთ -1-ზე 2y-1.

$$-2y+1-3y=-4$$

მიუმატეთ -2y -3y-ს.

$$-5y+1=-4$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=2y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2-1$$

მიუმატეთ -1 2-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y=5x-y+2$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$-2x+3y+y=2$$

დააჯგუფეთ 3y და y, რათა მიიღოთ 4y.

$$-2x+4y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$2x-2y=3x+y-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2x-2y-3x=y-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x-2y=y-4$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$-x-2y-y=-4$$

დააჯგუფეთ -2y და -y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-x-3y=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y=5x-y+2$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$-2x+3y+y=2$$

დააჯგუფეთ 3y და y, რათა მიიღოთ 4y.

$$-2x+4y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$2x-2y=3x+y-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2x-2y-3x=y-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x-2y=y-4$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$-x-2y-y=-4$$

დააჯგუფეთ -2y და -y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-x-3y=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

იმისათვის, რომ -2x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

გაამარტივეთ.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

გამოაკელით 2x+6y=8 2x-4y=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-6y=-2-8$$

მიუმატეთ -4y -6y-ს.

$$-10y=-2-8$$

მიუმატეთ -2 -8-ს.

$$-10y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -x-3y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x-3=-4$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$