გადაწყვიტეთ {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$200x+300y=360$$

გამოაკელით 300y განტოლების ორივე მხარეს.

$$200x=-300y+360$$

ორივე მხარე გაყავით 200-ზე.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{200}-ზე -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

გაამრავლეთ 300-ზე -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

მიუმატეთ -450y 200y-ს.

$$-250y+540=340$$

გამოაკელით 540 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-250y=-200$$

ორივე მხარე გაყავით -250-ზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{4}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

მიუმატეთ \frac{9}{5} -\frac{6}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

იმისათვის, რომ 200x და 300x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 300-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 200-ზე.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

გაამარტივეთ.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

გამოაკელით 60000x+40000y=68000 60000x+90000y=108000-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

მიუმატეთ 60000x -60000x-ს. პირობები 60000x და -60000x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

მიუმატეთ 90000y -40000y-ს.

$$50000y=108000-68000$$

მიუმატეთ 108000 -68000-ს.

$$50000y=40000$$

ორივე მხარე გაყავით 50000-ზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: 300x+200y=340. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

გაამრავლეთ 200-ზე \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

გამოაკელით 160 განტოლების ორივე მხარეს.

$$300x=180$$

ორივე მხარე გაყავით 300-ზე.

$$x=\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$