გადაწყვიტეთ {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა p, m-ისთვის

$$p=-2$$

$$m=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი p-ისთვის, p-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2p+3m=8$$

გამოაკელით 3m განტოლების ორივე მხარეს.

$$2p=-3m+8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3m}{2}+4-ით p მეორე განტოლებაში, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

მიუმატეთ -\frac{3m}{2} 2m-ს.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}m=2$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$m=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით m აქ: p=-\frac{3}{2}m+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე 4.

$$p=-6+4$$

მიუმატეთ 4 -6-ს.

$$p=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=-2,m=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - p და m.

$$p=-2,m=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

იმისათვის, რომ 2p და p ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

გამოაკელით 2p+4m=12 2p+3m=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

მიუმატეთ 2p -2p-ს. პირობები 2p და -2p გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3m-4m=8-12$$

მიუმატეთ 3m -4m-ს.

$$-m=8-12$$

მიუმატეთ 8 -12-ს.

$$-m=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$m=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით m აქ: p+2m=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p+2\times 4=6$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$p+8=6$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=-2,m=4$$