გადაწყვიტეთ {l}{2a=3b-1}{2a+b=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b - 1 } \\ { 2 a + b = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=1$$

$$b=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3b ორივე მხარეს.

$$2a-3b=-1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2a-3b=-1$$

მიუმატეთ 3b განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=3b-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=\frac{1}{2}\left(3b-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3b-1.

$$a=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3b-1}{2}-ით a მეორე განტოლებაში, 2a+b=3.

$$2\left(\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}\right)+b=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3b-1}{2}.

$$3b-1+b=3$$

მიუმატეთ 3b b-ს.

$$4b-1=3$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4b=4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$b=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით b აქ: a=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=\frac{3-1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=1,b=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3b ორივე მხარეს.

$$2a-3b=-1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=1,b=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3b ორივე მხარეს.

$$2a-3b=-1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

გამოაკელით 2a+b=3 2a-3b=-1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2a-2a-3b-b=-1-3$$

მიუმატეთ 2a -2a-ს. პირობები 2a და -2a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3b-b=-1-3$$

მიუმატეთ -3b -b-ს.

$$-4b=-1-3$$

მიუმატეთ -1 -3-ს.

$$-4b=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$b=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით b აქ: 2a+b=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$2a+1=3$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=1,b=1$$