გადაწყვიტეთ {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-19$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+y-ზე.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 x-y-ზე.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

დააჯგუფეთ 5x და -7x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

დააჯგუფეთ 5y და 7y, რათა მიიღოთ 12y.

$$-2x+12y=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+5y=4$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-5y+4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -5y+4.

$$x=5y-4$$

ჩაანაცვლეთ 5y-4-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

გაამრავლეთ -2-ზე 5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

მიუმატეთ -10y 12y-ს.

$$2y+8=2$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=5y-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

გაამრავლეთ 5-ზე -3.

$$x=-15-4$$

მიუმატეთ -4 -15-ს.

$$x=-19$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-19,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+y-ზე.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 x-y-ზე.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

დააჯგუფეთ 5x და -7x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

დააჯგუფეთ 5y და 7y, რათა მიიღოთ 12y.

$$-2x+12y=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-19,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+y-ზე.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 x-y-ზე.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

დააჯგუფეთ 5x და -7x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

დააჯგუფეთ 5y და 7y, რათა მიიღოთ 12y.

$$-2x+12y=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

იმისათვის, რომ -x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

გაამარტივეთ.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

გამოაკელით 2x-12y=-2 2x-10y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10y+12y=-8+2$$

მიუმატეთ -10y 12y-ს.

$$2y=-8+2$$

მიუმატეთ -8 2-ს.

$$2y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: -2x+12y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

გაამრავლეთ 12-ზე -3.

$$-2x-36=2$$

მიუმატეთ 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=38$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-19$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-19,y=-3$$