გადაწყვიტეთ {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2y-x+y=3$$

დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x+2y+y=3$$

დააჯგუფეთ 2y და y, რათა მიიღოთ 3y.

$$x+3y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-y-ზე.

$$x+y-2x+2y=1$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+y+2y=1$$

დააჯგუფეთ y და 2y, რათა მიიღოთ 3y.

$$-x+3y=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+3y=3$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3y+3$$

ჩაანაცვლეთ -3y+3-ით x მეორე განტოლებაში, -x+3y=1.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

გაამრავლეთ -1-ზე -3y+3.

$$3y-3+3y=1$$

მიუმატეთ 3y 3y-ს.

$$6y-3=1$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{3}-ით y აქ: x=-3y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{2}{3}.

$$x=-2+3$$

მიუმატეთ 3 -2-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2y-x+y=3$$

დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x+2y+y=3$$

დააჯგუფეთ 2y და y, რათა მიიღოთ 3y.

$$x+3y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-y-ზე.

$$x+y-2x+2y=1$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+y+2y=1$$

დააჯგუფეთ y და 2y, რათა მიიღოთ 3y.

$$-x+3y=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2y-x+y=3$$

დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x+2y+y=3$$

დააჯგუფეთ 2y და y, რათა მიიღოთ 3y.

$$x+3y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-y-ზე.

$$x+y-2x+2y=1$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+y+2y=1$$

დააჯგუფეთ y და 2y, რათა მიიღოთ 3y.

$$-x+3y=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

გამოაკელით -x+3y=1 x+3y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x+x=3-1$$

მიუმატეთ x x-ს.

$$2x=3-1$$

მიუმატეთ 3 -1-ს.

$$2x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: -x+3y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-1+3y=1$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=2$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$