გადაწყვიტეთ {l}{150x+y=35}{200x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 x + y = 35 } \\ { 200 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=110$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$150x+y=35$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$150x=-y+35$$

ორივე მხარე გაყავით 150-ზე.

$$x=\frac{1}{150}\left(-y+35\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{150}-ზე -y+35.

$$x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{150}+\frac{7}{30}-ით x მეორე განტოლებაში, 200x+y=10.

$$200\left(-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}\right)+y=10$$

გაამრავლეთ 200-ზე -\frac{y}{150}+\frac{7}{30}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{140}{3}+y=10$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{3} y-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{140}{3}=10$$

გამოაკელით \frac{140}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{110}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=110$$

ჩაანაცვლეთ 110-ით y აქ: x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{150}\times 110+\frac{7}{30}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{150}-ზე 110.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{30}$$

მიუმატეთ \frac{7}{30} -\frac{11}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{150-200}&-\frac{1}{150-200}\\-\frac{200}{150-200}&\frac{150}{150-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}&\frac{1}{50}\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}\times 35+\frac{1}{50}\times 10\\4\times 35-3\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\110\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

გამოაკელით 200x+y=10 150x+y=35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$150x-200x+y-y=35-10$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$150x-200x=35-10$$

მიუმატეთ 150x -200x-ს.

$$-50x=35-10$$

მიუმატეთ 35 -10-ს.

$$-50x=25$$

ორივე მხარე გაყავით -50-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2}-ით x აქ: 200x+y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$200\left(-\frac{1}{2}\right)+y=10$$

გაამრავლეთ 200-ზე -\frac{1}{2}.

$$-100+y=10$$

მიუმატეთ 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=110$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$