გადაწყვიტეთ {l}{-3x+y=-1}{5x-2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 1 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-9$$

$$y=-28$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-3x+y=-1$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-y-1$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -y-1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1+y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-2y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=11$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{1+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-2y=11$$

მიუმატეთ \frac{5y}{3} -2y-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=11$$

გამოაკელით \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{28}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=-28$$

ჩაანაცვლეთ -28-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-28\right)+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -28.

$$x=\frac{-28+1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -\frac{28}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=-28$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-3\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)-11\\-5\left(-1\right)-3\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-28\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-9,y=-28$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

იმისათვის, რომ -3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე.

$$5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right),-3\times 5x-3\left(-2\right)y=-3\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$-15x+5y=-5,-15x+6y=-33$$

გამოაკელით -15x+6y=-33 -15x+5y=-5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x+5y-6y=-5+33$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y-6y=-5+33$$

მიუმატეთ 5y -6y-ს.

$$-y=-5+33$$

მიუმატეთ -5 33-ს.

$$-y=28$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-28$$

ჩაანაცვლეთ -28-ით y აქ: 5x-2y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-2\left(-28\right)=11$$

გაამრავლეთ -2-ზე -28.

$$5x+56=11$$

გამოაკელით 56 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-45$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=-28$$