გადაწყვიტეთ {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=3$$

$$b=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2a-b+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2a-b=-8$$

მიუმატეთ b განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2a=b-8$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{b}{2}+4-ით a მეორე განტოლებაში, a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

მიუმატეთ -\frac{b}{2} -2b-ს.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

მიუმატეთ 4 1-ს.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით b აქ: a=-\frac{1}{2}b+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 2.

$$a=-1+4$$

მიუმატეთ 4 -1-ს.

$$a=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=3,b=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=3,b=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

იმისათვის, რომ -2a და a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

გაამარტივეთ.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

გამოაკელით -2a+4b-2=0 -2a-b+8=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

მიუმატეთ -2a 2a-ს. პირობები -2a და 2a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-b-4b+8+2=0$$

მიუმატეთ -b -4b-ს.

$$-5b+8+2=0$$

მიუმატეთ 8 2-ს.

$$-5b+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5b=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$b=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით b აქ: a-2b+1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a-2\times 2+1=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე 2.

$$a-4+1=0$$

მიუმატეთ -4 1-ს.

$$a-3=0$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=3,b=2$$