გადაწყვიტეთ {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

დააჯგუფეთ -2y და -5y, რათა მიიღოთ -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

გამოაკელით 10x ორივე მხარეს.

$$2x-7y-10x=-10$$

დააჯგუფეთ 2x და -10x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x-7y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+2-ზე.

$$2x+3y+6=6$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=6-6$$

გამოაკელით 6 6-ს 0-ის მისაღებად.

$$2x+3y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-8x-7y=-10$$

მიუმატეთ 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=7y-10$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{8}-ზე 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{4} 3y-ს.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{8}-ზე -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} \frac{7}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

დააჯგუფეთ -2y და -5y, რათა მიიღოთ -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

გამოაკელით 10x ორივე მხარეს.

$$2x-7y-10x=-10$$

დააჯგუფეთ 2x და -10x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x-7y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+2-ზე.

$$2x+3y+6=6$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=6-6$$

გამოაკელით 6 6-ს 0-ის მისაღებად.

$$2x+3y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

დააჯგუფეთ -2y და -5y, რათა მიიღოთ -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

გამოაკელით 10x ორივე მხარეს.

$$2x-7y-10x=-10$$

დააჯგუფეთ 2x და -10x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x-7y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+2-ზე.

$$2x+3y+6=6$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=6-6$$

გამოაკელით 6 6-ს 0-ის მისაღებად.

$$2x+3y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

იმისათვის, რომ -8x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

გამოაკელით -16x-24y=0 -16x-14y=-20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

მიუმატეთ -16x 16x-ს. პირობები -16x და 16x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-14y+24y=-20$$

მიუმატეთ -14y 24y-ს.

$$10y=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 2x+3y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე -2.

$$2x-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-2$$