გადაწყვიტეთ {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$3x-3y-2y=6$$

დააჯგუფეთ -3y და -2y, რათა მიიღოთ -5y.

$$3x-5y=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 2x+y-ის წევრი 2-ზე x+\frac{1}{2}y-ის მისაღებად.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}y და -y, რათა მიიღოთ -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-5y=6$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=5y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y}{3}+2-ით x მეორე განტოლებაში, x-\frac{1}{2}y=0.

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

მიუმატეთ \frac{5y}{3} -\frac{y}{2}-ს.

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{6}y=-2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{12}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{12}{7}-ით y აქ: x=\frac{5}{3}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

გაამრავლეთ \frac{5}{3}-ზე -\frac{12}{7} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

მიუმატეთ 2 -\frac{20}{7}-ს.

$$x=-\frac{6}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$3x-3y-2y=6$$

დააჯგუფეთ -3y და -2y, რათა მიიღოთ -5y.

$$3x-5y=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 2x+y-ის წევრი 2-ზე x+\frac{1}{2}y-ის მისაღებად.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}y და -y, რათა მიიღოთ -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$3x-3y-2y=6$$

დააჯგუფეთ -3y და -2y, რათა მიიღოთ -5y.

$$3x-5y=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 2x+y-ის წევრი 2-ზე x+\frac{1}{2}y-ის მისაღებად.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}y და -y, რათა მიიღოთ -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

გამოაკელით 3x-\frac{3}{2}y=0 3x-5y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

მიუმატეთ -5y \frac{3y}{2}-ს.

$$-\frac{7}{2}y=6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{12}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{12}{7}-ით y აქ: x-\frac{1}{2}y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -\frac{12}{7} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x+\frac{6}{7}=0$$

გამოაკელით \frac{6}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{6}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$