გადაწყვიტეთ {l}{2x-y/5=3}{x+y/3=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=8$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$2x-y=3\times 5$$

გადაამრავლეთ 3 და 5, რათა მიიღოთ 15.

$$2x-y=15$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x+y=3\times 3$$

გადაამრავლეთ 3 და 3, რათა მიიღოთ 9.

$$x+y=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=15,x+y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=15$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y+15$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე y+15.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15+y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=9.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

მიუმატეთ \frac{y}{2} y-ს.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1+15}{2}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} \frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$2x-y=3\times 5$$

გადაამრავლეთ 3 და 5, რათა მიიღოთ 15.

$$2x-y=15$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x+y=3\times 3$$

გადაამრავლეთ 3 და 3, რათა მიიღოთ 9.

$$x+y=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=15,x+y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=8,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$2x-y=3\times 5$$

გადაამრავლეთ 3 და 5, რათა მიიღოთ 15.

$$2x-y=15$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x+y=3\times 3$$

გადაამრავლეთ 3 და 3, რათა მიიღოთ 9.

$$x+y=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=15,x+y=9$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x-y=15,2x+2y=2\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$2x-y=15,2x+2y=18$$

გამოაკელით 2x+2y=18 2x-y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-y-2y=15-18$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y-2y=15-18$$

მიუმატეთ -y -2y-ს.

$$-3y=15-18$$

მიუმატეთ 15 -18-ს.

$$-3y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x+y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+1=9$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=1$$