გადაწყვიტეთ {c}{5x-y=-1}{3x+2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = - 1 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y = \frac{58}{13} = 4\frac{6}{13} \approx 4.461538462$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-y=-1,3x+2y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-y=-1$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=y-1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე y-1.

$$x=\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-1+y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=11.

$$3\left(\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+2y=11$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-1+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}+2y=11$$

მიუმატეთ \frac{3y}{5} 2y-ს.

$$\frac{13}{5}y-\frac{3}{5}=11$$

მიუმატეთ \frac{3}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{5}y=\frac{58}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{58}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{58}{13}-ით y აქ: x=\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{58}{13}-\frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე \frac{58}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{58}{65}-\frac{1}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{5} \frac{58}{65}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{9}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{13},y=\frac{58}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-y=-1,3x+2y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-1\right)+\frac{1}{13}\times 11\\-\frac{3}{13}\left(-1\right)+\frac{5}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\\frac{58}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{9}{13},y=\frac{58}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-y=-1,3x+2y=11$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$15x-3y=-3,15x+10y=55$$

გამოაკელით 15x+10y=55 15x-3y=-3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-3y-10y=-3-55$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-10y=-3-55$$

მიუმატეთ -3y -10y-ს.

$$-13y=-3-55$$

მიუმატეთ -3 -55-ს.

$$-13y=-58$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=\frac{58}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{58}{13}-ით y აქ: 3x+2y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times \frac{58}{13}=11$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{58}{13}.

$$3x+\frac{116}{13}=11$$

გამოაკელით \frac{116}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{27}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{9}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{13},y=\frac{58}{13}$$