გადაწყვიტეთ {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-9$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-y-ზე.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-5y-ზე.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

დააჯგუფეთ 6x და -2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

დაამატეთ 10y ორივე მხარეს.

$$4x-2y+10y=-64$$

დააჯგუფეთ -2y და 10y, რათა მიიღოთ 8y.

$$4x+8y=-64$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-2-ზე.

$$9x-6-2y=30$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$9x-2y=30+6$$

შეკრიბეთ 30 და 6, რათა მიიღოთ 36.

$$9x-2y=36$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+8y=-64$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-8y-64$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -8y-64.

$$x=-2y-16$$

ჩაანაცვლეთ -2y-16-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-2y=36.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

გაამრავლეთ 9-ზე -2y-16.

$$-18y-144-2y=36$$

მიუმატეთ -18y -2y-ს.

$$-20y-144=36$$

მიუმატეთ 144 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-20y=180$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=-9$$

ჩაანაცვლეთ -9-ით y აქ: x=-2y-16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

გაამრავლეთ -2-ზე -9.

$$x=18-16$$

მიუმატეთ -16 18-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-y-ზე.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-5y-ზე.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

დააჯგუფეთ 6x და -2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

დაამატეთ 10y ორივე მხარეს.

$$4x-2y+10y=-64$$

დააჯგუფეთ -2y და 10y, რათა მიიღოთ 8y.

$$4x+8y=-64$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-2-ზე.

$$9x-6-2y=30$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$9x-2y=30+6$$

შეკრიბეთ 30 და 6, რათა მიიღოთ 36.

$$9x-2y=36$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-y-ზე.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-5y-ზე.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

დააჯგუფეთ 6x და -2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

დაამატეთ 10y ორივე მხარეს.

$$4x-2y+10y=-64$$

დააჯგუფეთ -2y და 10y, რათა მიიღოთ 8y.

$$4x+8y=-64$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-2-ზე.

$$9x-6-2y=30$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$9x-2y=30+6$$

შეკრიბეთ 30 და 6, რათა მიიღოთ 36.

$$9x-2y=36$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

იმისათვის, რომ 4x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

გაამარტივეთ.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

გამოაკელით 36x-8y=144 36x+72y=-576-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

მიუმატეთ 36x -36x-ს. პირობები 36x და -36x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$72y+8y=-576-144$$

მიუმატეთ 72y 8y-ს.

$$80y=-576-144$$

მიუმატეთ -576 -144-ს.

$$80y=-720$$

ორივე მხარე გაყავით 80-ზე.

$$y=-9$$

ჩაანაცვლეთ -9-ით y აქ: 9x-2y=36. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

გაამრავლეთ -2-ზე -9.

$$9x+18=36$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-9$$