გადაწყვიტეთ {c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}}

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=5$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3-2y-ზე.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

გამოაკელით 3 9-ს 6-ის მისაღებად.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1-2x-ზე.

$$6-6y=2-4x$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$6-6y+4x=2$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$-6y+4x=2-6$$

გამოაკელით 6 2-ს -4-ის მისაღებად.

$$-6y+4x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 8-ზე, 8,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

გამოაკელით 8 25-ს 17-ის მისაღებად.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 1+y-ზე.

$$17=4x+12-3-3y$$

გამოაკელით 3 12-ს 9-ის მისაღებად.

$$17=4x+9-3y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$4x+9-3y=17$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$4x-3y=17-9$$

გამოაკელით 9 17-ს 8-ის მისაღებად.

$$4x-3y=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-6y+4x=-4$$

გამოაკელით 4x განტოლების ორივე მხარეს.

$$-6y=-4x-4$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{6}-ზე -4x-4.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2+2x}{3}-ით y მეორე განტოლებაში, -3y+4x=8.

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{2+2x}{3}.

$$-2x-2+4x=8$$

მიუმატეთ -2x 4x-ს.

$$2x-2=8$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x აქ: y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 5.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} \frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=4,x=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3-2y-ზე.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

გამოაკელით 3 9-ს 6-ის მისაღებად.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1-2x-ზე.

$$6-6y=2-4x$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$6-6y+4x=2$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$-6y+4x=2-6$$

გამოაკელით 6 2-ს -4-ის მისაღებად.

$$-6y+4x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 8-ზე, 8,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

გამოაკელით 8 25-ს 17-ის მისაღებად.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 1+y-ზე.

$$17=4x+12-3-3y$$

გამოაკელით 3 12-ს 9-ის მისაღებად.

$$17=4x+9-3y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$4x+9-3y=17$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$4x-3y=17-9$$

გამოაკელით 9 17-ს 8-ის მისაღებად.

$$4x-3y=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=4,x=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3-2y-ზე.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

გამოაკელით 3 9-ს 6-ის მისაღებად.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1-2x-ზე.

$$6-6y=2-4x$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$6-6y+4x=2$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$-6y+4x=2-6$$

გამოაკელით 6 2-ს -4-ის მისაღებად.

$$-6y+4x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 8-ზე, 8,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

გამოაკელით 8 25-ს 17-ის მისაღებად.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 1+y-ზე.

$$17=4x+12-3-3y$$

გამოაკელით 3 12-ს 9-ის მისაღებად.

$$17=4x+9-3y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$4x+9-3y=17$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$4x-3y=17-9$$

გამოაკელით 9 17-ს 8-ის მისაღებად.

$$4x-3y=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

გამოაკელით -3y+4x=8 -6y+4x=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y+3y=-4-8$$

მიუმატეთ -6y 3y-ს.

$$-3y=-4-8$$

მიუმატეთ -4 -8-ს.

$$-3y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: -3y+4x=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3\times 4+4x=8$$

გაამრავლეთ -3-ზე 4.

$$-12+4x=8$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=4,x=5$$