გადაწყვიტეთ ∫ -3x^2left(4x^3+4right)^3 wrt x

$$\int{ -3 { x }^{ 2 } { \left(4 { x }^{ 3 } +4 \right) }^{ 3 } }d x$$

შეფასება

$$С-64x^{3}-96x^{6}-64x^{9}-16x^{12}$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4x^{3}+4\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$\int -3x^{2}\left(64\left(x^{3}\right)^{3}+192\left(x^{3}\right)^{2}+192x^{3}+64\right)\mathrm{d}x$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 3 და 3 რომ მიიღოთ 9.

$$\int -3x^{2}\left(64x^{9}+192\left(x^{3}\right)^{2}+192x^{3}+64\right)\mathrm{d}x$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 3 და 2 რომ მიიღოთ 6.

$$\int -3x^{2}\left(64x^{9}+192x^{6}+192x^{3}+64\right)\mathrm{d}x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3x^{2} 64x^{9}+192x^{6}+192x^{3}+64-ზე.

$$\int -192x^{11}-576x^{8}-576x^{5}-192x^{2}\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int -192x^{11}\mathrm{d}x+\int -576x^{8}\mathrm{d}x+\int -576x^{5}\mathrm{d}x+\int -192x^{2}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$-192\int x^{11}\mathrm{d}x-576\int x^{8}\mathrm{d}x-576\int x^{5}\mathrm{d}x-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{11}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{12}}{12}-ით. გაამრავლეთ -192-ზე \frac{x^{12}}{12}.

$$-16x^{12}-576\int x^{8}\mathrm{d}x-576\int x^{5}\mathrm{d}x-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{8}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{9}}{9}-ით. გაამრავლეთ -576-ზე \frac{x^{9}}{9}.

$$-16x^{12}-64x^{9}-576\int x^{5}\mathrm{d}x-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{5}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{6}}{6}-ით. გაამრავლეთ -576-ზე \frac{x^{6}}{6}.

$$-16x^{12}-64x^{9}-96x^{6}-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ -192-ზე \frac{x^{3}}{3}.

$$-16x^{12}-64x^{9}-96x^{6}-64x^{3}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$-64x^{3}-96x^{6}-64x^{9}-16x^{12}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$-192x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3}$$