გადაწყვიტეთ ∫ (x^2-2sqrt{x}) wrt x

$$\int ( x ^ { 2 } - 2 \sqrt { x } ) d x$$

შეფასება

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

ხელახლა დაწერეთ \sqrt{x}, როგორც x^{\frac{1}{2}}. რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-ით. გაამარტივეთ. გაამრავლეთ -2-ზე \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$\frac{x^{3}-4x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$x^{2}-2\sqrt{x}$$